Sistemas Lineares 2 x 2

Apresentam duas equações e duas incógnitas, com a seguinte estrutura geral 

Discussão de Sistemas 2 x 2

Cada linha do sistema geometricamente representa uma reta no plano cartesiano. Então podemos ter:

Sistema Possível e Determinado: 

 Geometricamente representa retas concorrentes, onde há um ponto (x0, y0) de intersecção que é solução única do sistema.

Sistema Possível e Indeterminado:

Geometricamente representa retas coincidentes, onde infinitos pontos comuns fazem parte do conjunto solu-ção do sistema.

Sistema Impossível:

Geometricamente representa retas paralelas, onde não há nenhum ponto solução do sistema.

 

(PUC-RJ) Ache os valores de a e b para que o sistema

tenha mais de uma solução.

 

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Matrizes no dia a dia e a sua importância

A construção de uma tabela onde são apresentados os resultados do aproveitamento escolar de 4 turmas diferentes pode ser apresentada em uma tabela, com as respectivas disciplinas e o aproveitamento de cada turma por disciplina, como no esquema a seguir:.    

Matemática     Português     História     Geografia

Turma  A                     8                         9                    8                     9
Turma  B                      7                        5                    6                     6
Turma C                       8                        7                    7                    7
Turma D                      7                        8                     8                    9

 

              A identificação de uma determinada nota procurada pode ser feita da  seguinte maneira: Quando quizermos saber o aproveitamento da turma C em história  por exemplo basta nos orientarmos na linha da turma C e na coluna onde estão as notas de história, logo encontramos a nota 7.Agora repetindo a coluna apenas considerando os numeros dispostos em linhas e colunas como na tabelaanterior,porém colocados entre parênteses ou colchetes, veja:Em tabelas dispostas como essa, os numeros são chamados de elementos. As colunas são enumeradas da esquerda para a direita e as linhas de cima para baixo. Esse tipo de tabela disposta com linhas e colunas é classificado da seguinte forma mxn, onde m são as linhas e n as colunas com m e n diferentes de 0;essa tabela é chamada de matriz.Representamos geralmente uma matriz por letras maiusculas e seus respectivos elementos por letras minusculas que são os indices ja apresentados, linha e colunas (mxn).As matrizes nos ajudam bastante em vários direcionamentos de assuntos e estudos que fazemos no dia a dia, as aplicações dessas "tabelas" nos auxiliam por exemplo no ensino da matemática aplicada a informática.As usuais transformações de tabelas que usamos como instrumento de estudo das matrizes podem ser feitas atraves de estudos realizados nos campos da econômia, engenharia, matemática, física, informática,....Na informática temos os exemplos classícos de matrizes, em programas onde elas aparecem no auxilio dos calculos matemáticos, editores de imagem, o próprio teclado onde sua configuração é realizada por um sistema de matrizes, entre outros tantos.Na econômia por exemplo as matrizes auxiliam como grande ferramenta na interpretação de gráficos que também podem ser originados de tabelas que usamos as matrizes. Junto com a econômia temos as organizações comerciais que fazem uso da tabela, ou seja trabalham com matrizes. Engenheiros civis fazem constantemente o uso das matrizes,que são de extrema imprtância para a divisão dos metros e distribuição de material na construção de uma estrutura de sustentação (lage). Na Física é feito o uso das matrizes a partir de tabelas relacionando o deslocamento e o tempo. Entre tantos outros exemplos, esse é o uso da matemática no dia a dia relacionando ao estudo de matrizes.Bibliografia:Algebra Linear. BoldriniFundamentos de matemática elementar. Iezzi

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1 º ano Estatística

A estatística começou  aqui

Medidas de tendência central: média, moda e mediana

Quando alguém afirma que a temperatura média, ontem, de sua cidade, foi de 20°C, todo o conjunto de temperaturas de ontem foi representado por um único valor que, nesse caso, foi a média aritmética dessas temperaturas. A média aritmética é uma das medidas de tendência central que abordaremos nessa publicação.

As medidas de tendência central são utilizadas para caracterizar um conjunto de valores, representando-o adequadamente. A denominação “medida de tendência central”, que você viu no título dessa postagem, se deve ao fato de que, por ser uma medida que caracteriza um conjunto, tenderá a estar no meio dos valores. Além damédia aritmética, iremos aprender, nessa publicação, também sobre a mediana e a moda.

Média Aritmética

Dada a sequência 1, 2, 3, 4, 5, como determinar a sua média aritmética? A média aritmética é obtida somando-se todos os números dessa sequência e dividindo pela quantidade de números que a sequência possui, que são 5 números, ou seja:

Se considerarmos um conjunto de valores x₁, x₂, x₃, ..., x_n. A média aritmética dos valores desse conjunto é dada por:

Moda

O termo “moda” foi utilizado pela primeira vez em 1895 por Karl Pearson (1857-1936), possivelmente em referência ao seu significado usual. Embora a palavra “moda” possa estar relacionada a desfiles e roupas em geral, em um sentido mais amplo, significa uma ação, uma atitude ou um pensamento que é mais praticado ou frequente.

Para ilustrar esse amplo conceito, iremos supor um exemplo, onde foi feita uma pesquisa sobre a preferência de um grupo de alunos em relação ao curso superior que desejariam cursar ao passar no vestibular, veja:

Existe algum curso superior mais citado?

A resposta é sim, existe um curso mais citado. Esse curso mais citado foi o de Engenharia (citado duas vezes), os demais foram citados apenas uma vez. Por isso, a opção “Engenharia” é a moda desse conjunto, o valor dominante ou valor típico nesse grupo. De acordo com o conceito podemos deduzir que a moda é sempre o valor mais frequente em um conjunto de dados.

Observe alguns exemplos:

Exemplo 1: A moda do conjunto    é igual a 3, pois este valor é o mais frequente no conjunto P.

Exemplo 2: O conjunto   não tem moda, pois não existe nenhum valor mais frequente no conjunto Q.

Observação 1:

A moda pode ser utilizada para representar tanto um conjunto de dados numéricos como um conjunto de dados nominais. Por exemplo, quando eu comecei a falar sobre a moda, nessa publicação, perguntei qual curso tinha se destacado entre os demais naquela pesquisa e foi até o curso de engenharia que mais se destacou certo? Pois bem, aquele conjunto formado pelos nomes dos cursos é um exemplo de conjunto nominal, ou seja, um conjunto formado apenas por nomes. 

Mediana

Mediana é uma medida de tendência central que tem a característica de dividir um conjunto ao meio. Isto é, a mediana de um conjunto o separa em duas partes de modo que 50% dos valores sejam menores que ela e 50% dos valores sejam maiores que ela, ou seja, em um conjunto onde seus elementos estão dispostos em ordem crescente ou decrescente a mediana é o termo central desse conjunto ou o elemento que está bem no meio.

Por exemplo: considere um conjunto A, tal que:

Em primeiro lugar colocamos esse conjunto em ordem crescente ou decrescente, tanto faz. Eu costumo colocar sempre na ordem crescente para melhor entendimento do assunto.

Note que essa sequencia é formada por um número par de termos, ou seja, por seis termos. Portanto existem dois termos centrais: os que ocupam a 3ª e 4ª posições. Logo qualquer valor que se encontre entre esses dois termos, no caso, o 4 e o 6, pode dividir o conjunto em duas partes com a mesma quantidade de elementos. Porém, por definição, nesses casos em que o conjunto apresenta dois termos centrais, consideramos a média aritmética entre esses dois termos para ser o termo central, ou seja, no nosso caso deveríamos somar 4 + 6 = 10 e dividir por 2, assim obteríamos o valor 5 como resposta para o nosso termo central do conjunto A.

Quando há um número ímpar de termos em um conjunto, existirá um único termo central. Nesses casos a mediana será o próprio termo central, sem dificuldades. Vamos a um exemplo para ilustrar nossa afirmação.

Exemplo: Dado um conjunto   , determinar sua mediana.

Primeiro devemos organizar o conjunto em ordem crescente ou decrescente, tanto faz. Em ordem crescente o conjunto ficaria assim:

 

Nesse caso o termo central é o que se encontra na 4ª posição, ou seja, o número 5. Dizemos então que o número 5 é a mediana desse conjunto pois é ele que se encontra bem no meio dele.

Lembre-se:

Para obter a mediana de um conjunto de dados, devemos sempre ordenar esse conjunto. A ordem pode ser crescente ou decrescente, como eu já disse, tanto faz. Se o conjunto tiver um número ímpar de termos, a mediana é o próprio termo central. Caso o conjunto tenha um número par de termos, a mediana será a média aritmética dos dois termos centrais.
Espero ter esclarecido um pouco o que vêm a ser medidas de tendencia central e quais são elas. Não pense que essas três são as únicas medidas de tendencia central que existem, pois existem algumas outras que em breve explicarei aqui no blog, então fique por dentro das próximas publicações para aprender um pouco mais. Até a próxima.
O que quer dizer essa frase?

Agora vamos para os exercícios, para fazer  click AQUI