matemática fácil - Prof Lucilia: 09/20/16

INEQUAÇÃO DO 2º GRAU

Inequação do 2º grau na variável x é uma expressão matemática de desigualdade escrita nas seguintes formas redutíveis:

ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c <0 class="Apple-converted-space" font="">

ax² + bx + c ≥ 0
ax² + bx + c ≤ 0
onde a, b e c pertencem ao conjunto dos números reais e a ≠ 0.
A obtenção do conjunto solução das inequações deve ser determinado de acordo com o sinal de cada função. A seguir determinaremos o estudo do sinal de algumas funções.

Exemplo 1
x² – 6x + 8 < 0
∆ = 4 (duas raízes distintas)

x’ = 2
x” = 4

Estudando o sinal da função y = x² – 6x + 8, que possui a > 0. Observe o gráfico:

y < 0 → 2 < x < 4
y = 0 → x = 2 ou x = 4
y>0 → x < 2 ou x > 4

De acordo com o sinal de desigualdade da inequação, o conjunto solução é: S = {x Є R / 2 < x < 4}.

Exemplo 2
x² – 6x + 9 >0
∆ = 0 (uma única raiz real)

x’ = x” = 3

Estudando o sinal da função y = x² – 6x + 9, com a > 0. Veja o gráfico:

y > 0 → x ≠ 3
y < 0 → não existem valores
y = 0 → x = 3

Portanto, o conjunto solução da inequação é: S = R – {3}

Exemplo 3
–3x² – 2x – 1 ≥ 0
∆ = – 8 (não possui raízes reais)

Nesse caso, a parábola não intercepta o eixo x, portanto não possui raízes reais. Dessa forma concluímos que o conjunto solução é: S = Ø.

Exemplo 4
–x² –3x – 2 ≤ 0
∆ = 1 (duas raízes reais e distintas)

x’ = –1 ou x” = –2

Estudando o sinal da função y = –x² – 3x – 2, com a < 0. Observe o gráfico:

y ≥ 0 → –2 ≤ x ≤ –1
y = 0 → x = –2 ou x = –1
y ≤ 0 → x ≤ –2 ou x ≥ –1
EXERCÍCIO AQUI

Equação da Circunferência

CIRCUNFERÊNCIA

É o conjunto dos pontos do plano cuja distância ao ponto C é igual a r.

O ponto C é chamado centro da circunferência e o segmento de reta que liga um ponto qualquer dela ao centro é chamado raio da circunferência. Assim, r é a medida desse segmento.

EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA

1. Equação reduzida

Seja uma circunferência com centro no ponto Q (a, b) e raio r; temos o ponto P (x, y) pertencente à circunferência se, e somente se:d (Q, P) = r ou

Então, uma circunferência com centro no ponto Q (a, b) e raio r tem equação (x – a)² + (y – b)² = r² (equação reduzida da circunferência).

Observação – Se o centro da circunferência estiver na origem, então a = b = 0, e sua equação será:

x² + y² = r²

2. Equação geral ou normal

Desenvolvendo a equação reduzida (x – a)² + (y – b)² = r², vamos obter:

x² – 2ax + a² + y² – 2by + b²- r² = 0

Portanto, x² + y² – 2ax – 2by + a² + b²- r² = 0 é a equação geral da circunferência.

Observação – A equação normal da circunferência também pode ser apresentada na forma x² + y₂ + Ax – By + C = 0, onde

A = -2a, B = -2b e C = a² + b²- r²

Aplicação

Determine as equações da circunferência de centro (1, 5) e raio 2.

Solução:

Sendo a = 1, b = 5 e r = 2, então, temos:

Sendo a = 2, b = 4 e r = 3, então, temos:

(x – a)² + (y – b)² = r2 (x – 1)² + (y – 5)² = 22

(x – 1)² + (y – 5)² = 4 (equação reduzida)

(x – 1)² + (y – 5)²= 4

x² – 2x + 1 + y² – 10y + 25 – 4 = 0

x² + y² – 2x – 10y + 22 = 0 (equação geral)

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA
Quando temos um ponto P (x,y) e uma circunferência C de centro (a,b) e raio r, as possíveis posições relativas de P e C são: