FUNÇÃO MODULAR

 FUNÇÃO MODULAR
      A função modular tem várias aplicações no cotidiano, como por exemplo a aplicação em comparação das temperaturas entre duas ou mais cidade, na Física, na Química na Geografia entre outras.   Para entender função modular - tema que cai nos vestibulares e no Enem - devemos compreender o que é módulo. Em seguida, através de exercícios, resolveremos algumas equações modulares e falaremos sobre a função modular:
MóduloAntes de falar da função modular, vamos relembrar a definição e como calcular o módulo de um número. O módulo é a distância de um determinado número até o zero. Por exemplo, o módulo de 13 é a distância entre o 13 e o 0. Para nos deslocarmos do 13 ao 0, andaremos 13 unidades. Portanto, o módulo de 13 é igual a 13. Ou ainda: |13| = 13. Sendo assim, qual será o módulo de -13? Bem, a distância do -13 ao zero é também de 13 unidades. Então, |-13| = 13.
Módulo de um número real
O módulo ou valor absoluto de um número real x é representado por |x|, que lemos: módulo de x.
1º - Se x for um número real positivo o módulo de x será o próprio x.2º - Se x for um número real negativo o módulo de x será o x positivo.
Resumindo | - x | = x                   | x | = x
 Obs: O módulo pode ser interpretado como a distância, na reta real, de um número real  x  a origem (zero)
Considere a reta real:



Chamamos a distância de um ponto da reta à origem (distância do ponto até o zero) de módulo ou valor absoluto.
Assim, a distância do ponto 4 à origem é 4. Dizemos que o módulo de 4 é igual a 4. E representamos por |4| = 4
    Da mesma forma, a distância do ponto  -2  à origem é  2, ou seja, o módulo de  -2  é 2, pois não há sentido em considerarmos distâncias negativas. Assim:  |-2| = 2

https://www.youtube.com/watch?v=IxdTj9j_Fig

EXERCÍCIO  SOBRE FUNÇÃO 

LEI SENO E LEI COSSENO

LEI    SENO

Um fio elétrico será instalado entre um poste P e uma casa, separados por um lago em um terreno plano. Como calcular o comprimento do fio necessário para a instalação? 

Pela necessidade de solucionar problemas relacionados a triângulos que não são retângulos, se desenvolveram formas de trabalhar com senos e cossenos de ângulos obtusos ( maiores que 90°). 

ASSISTA O VÍDEO

LEI  COSSENO

 “Um determinado engenheiro precisa fazer a medições de um terreno na forma triangular. Um dos lados mede 40 metros, outro mede 50 metros e o ângulo formado por este dois lados é de 60°. Para encontrar o valor do terceiro lado é necessário fazer uma nova medição ou podemos simplesmente efetuar um cálculo?”

LEI COSSENO

, 

Aplicação do ciclo trigonométrico 2º ano

A Trigonometria é uma área da Matemática responsável pela relação entre os lados e os ângulos de um triângulo. Nos triângulos retângulos, as relações estabelecem os chamados ângulos notáveis, 30º, 45º e 60º que possuem valores fixos representados para as relações seno, cosseno e tangente. Nos demais triângulos, as condições são adaptadas na busca pela relação existente entre os ângulos e os lados.

Alguns estudos dizem que Antes de Cristo um grego chamado Hiparco colocou em prática as relações dos ângulos de um triângulo retângulo e acredita-se também que a primeira tabela trigonométrica foi feita por ele. Assim, dentro da matemática ele é conhecido e respeitado como o “Pai da Trigonometria”.

Devemos ressaltar que a Trigonometria objetivou a elaboração dos estudos das funções trigonométricas, relacionadas aos ângulos e aos fenômenos periódicos. A partir do século XV, a modernidade dos cálculos criou novas situações teóricas e práticas relacionadas aos estudos dos ângulos e das medidas. Com a criação do Cálculo Diferencial e Integral, pelos cientistas Isaac Newton e Leibniz, a Trigonometria ganhou moldes definitivos no cenário da Matemática, sendo constantemente empregada em outras ciências, como Medicina, Engenharia, Física (ondulatória, óptica), Química, Geografia, Astronomia, Biologia, Arquitetura, Cartografia, Navegação entre outras.

Aplicação da trigonometria


 Muitos fenômenos físicos e sociais de comportamento cíclico, ou periódico, podem ser modelados por funções trigonométricas. Daí a enorme aplicação desse estudo em campos variados da ciência, como Acústica, Astronomia, Economia ou Medicina. Uma circunstância exemplar é o monitoramento da frequência cardíaca, isto é, do número de batimentos cardíacos em um período de tempo, geralmente medido em bpm (batimentos cardíacos por minutos). Apresente a eles uma situação para eles possam refletir sobre o assunto, como exemplo:

No gráfico abaixo, a variação da pressão sanguínea P (em mmHg) de certo indivíduo, em função do tempo, em segundos, é uma função cíclica, sendo que cada ciclo completo (período) equivale a um batimento cardíaco.

Trigonometria com molas

http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/trigonometria_molas/mat1_ativs1.swf



Gráfico seno e cossenp




CLIQUE AQUI

3º ano:Estudo das Retas

Considere duas retas distintas do plano cartesiano:

Podemos classificá-las como paralelas ou concorrentes.

Retas Paralelas 

* Distintas

As retas r e s têm o mesmo coeficiente angular.

Assim para r//s, temos:

* Coincidentes

  Coeficientesangulares e lineares  são iguais

Retas Concorrentes

As retas r e s têm coeficientes angulares diferentes.

Assim para r e s concorrentes, temos:

Retas Perpendiculares

É um caso particular de reta concorrente. Duas retas são ditas perpendiculares quando os seus coeficientes angulares são tais que:

Fórmulas:

 

 coeficiente angular m = - a/b   coeficiente linear  - c/b

 Equação Reduzida:

Y=mx + n
m= coeficiente angular
n= coeficiente linear

Equação da reta quando sabemos  o coeficiente e um ponto da reta

y - yA = m ( x - xA)

Equação geral da reta

 ax + by 

Início do ano 2017!!!!!

“Sorte é o que acontece quando a preparação encontra a oportunidade.” (Elmer Letterman)

“O sucesso é a soma de pequenos esforços – repetidos dia sim, e no outro dia também.” (Robert Collier, frases de motivação)

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Sólidos Geométricos

Quando tudo nos parece dar errado...
Acontecem coisas boas ...
Que não teriam acontecido...
Se tudo tivesse dado certo...

Sólidos Geométricos

Introdução

Um sólido geométrico é uma região do espaço limitada por uma superfície fechada. Há dois tipos de sólidos geométricos.

Poliedros

Poliedro é um sólido geométrico cuja superfície é composta por um número finito de faces, em que cada uma das faces é um polígono. 

Os seus elementos mais importantes são as faces, as arestas e os vértices.

Aos objectos que nos rodeiam e que apresentam as mais diversas formas, ocupando no espaço um certo lugar e tendo uma forma imutável desde que não seja exercida nenhuma acção particular sobre eles, chamamos sólidos.  

São exemplos de sólidos geométricos: o Cubo, o Paralelepípedo, o Prisma, a Pirâmide, o Cilindro, o Cone, a Esfera....

Exemplos deles incluem: 

  

1. Tetraedro 
2. Cubo
3. Octaedro
4. Dodecaedro
5. Icosaedro

Não poliedros

São todos os demais sólidos geométricos que não se encaixam na categoria de poliedro, ou seja, ao menos uma de suas faces não é um polígono.

Exemplos deles incluem:

1. Esfera 
2. Cone 
3. Elipsóide 
4. Cilindro
5. Toro
 

 

Cubo

Este sólido geométrico chama-se  cubo. 

É um prisma em que todas as faces têm a forma de quadrados.

Este sólido geométrico tem: 8 vértices, 12 arestas e 6 faces.

 

 

 

 

 

 

 

Paralelepípedo

Chamamos paralelepípedo a este prisma. 

Todas as suas faces têm a forma de rectângulos.

Tem 8 vértices, 12 arestas e 6 faces.

Pirâmide Triangular

Este sólido geométrico denomina-se pirâmide triangular porque a sua base é um triângulo. 

Tem 4 vértices, 6 arestas, 4 faces e 1 base.

Pirâmide Quadrangular 

Chamamos pirâmide quadrangular a este sólido pois tem um quadrado na sua base.

Tem 5 vértices, 8 arestas, 5 faces e 1 base.

Cone

O cone está limitado por uma superfície curva.

Tem uma base na forma de circunferência e tem 1 vértice.

Cilindro

Este sólido geométrico chama-se cilindro.

Encontra-se limitado por uma superfície curva e tem duas bases com a forma de circunferências.

Prisma Triangular

Este sólido geométrico é chamado prisma triangular porque as suas bases são triângulos.

Tem 6 vértices, 9 arestas, 5 faces e duas bases.

Esfera

A esfera é um sólido geométrico limitado por uma superfície curva.

A sua forma é esférica; não tem bases, não tem vértices e não tem arestas.

Prisma Quadrangular

O prisma quadrangular tem nas suas bases quadrados.

Tem 8 vértices, 12 aresta, 6 faces e duas bases.

Prisma Pentagonal

Este sólido chama-se prisma pentagonal, porque as suas bases são pentágonos.

Tem 10 vértices, 15 arestas, 7 faces e duas bases.

Pirâmide Pentagonal

A base da pirâmide pentagonal é um pentágono.

Tem 6 vértices, 10 arestas, 6 faces e 1 base.

Se observarmos cada figura citada acima, iremos perceber que cada uma tem a sua forma representada em algum objeto na nossa realidade, como:

Prisma: caixa de sapato, caixa de fósforos.
Cone: casquinha de sorvete.
Cilindro: cano PVC, canudo.
Esfera: bola de isopor, bola de futebol.

Essas figuras ocupam um lugar no espaço, então a geometria espacial é responsável pelo cálculo do volume (medida do espaço ocupada por um sólido) dessas figuras e o estudo das estruturas das figuras espaciais.

INEQUAÇÃO DO 2º GRAU

Inequação do 2º grau na variável x é uma expressão matemática de desigualdade escrita nas seguintes formas redutíveis: 

ax² + bx + c > 0 
ax² + bx + c <0 class="Apple-converted-space" font=""> 

ax² + bx + c ≥ 0 
ax² + bx + c ≤ 0 
onde a, b e c pertencem ao conjunto dos números reais e a ≠ 0. 
A obtenção do conjunto solução das inequações deve ser determinado de acordo com o sinal de cada função. A seguir determinaremos o estudo do sinal de algumas funções. 

Exemplo 1 
x² – 6x + 8 < 0 
∆ = 4 (duas raízes distintas) 

x’ = 2 
x” = 4 

Estudando o sinal da função y = x² – 6x + 8, que possui a > 0. Observe o gráfico:

y < 0 → 2 < x < 4 
y = 0 → x = 2 ou x = 4 
y>0 → x < 2 ou x > 4 

De acordo com o sinal de desigualdade da inequação, o conjunto solução é: S = {x Є R / 2 < x < 4}. 


Exemplo 2 
x² – 6x + 9 >0 
∆ = 0 (uma única raiz real) 

x’ = x” = 3 

Estudando o sinal da função y = x² – 6x + 9, com a > 0. Veja o gráfico:

y > 0 → x ≠ 3 
y < 0 → não existem valores 
y = 0 → x = 3 

Portanto, o conjunto solução da inequação é: S = R – {3} 


Exemplo 3 
–3x² – 2x – 1 ≥ 0 
∆ = – 8 (não possui raízes reais) 





Nesse caso, a parábola não intercepta o eixo x, portanto não possui raízes reais. Dessa forma concluímos que o conjunto solução é: S = Ø. 


Exemplo 4 
–x² –3x – 2 ≤ 0 
∆ = 1 (duas raízes reais e distintas) 

x’ = –1 ou x” = –2 

Estudando o sinal da função y = –x² – 3x – 2, com a < 0. Observe o gráfico:

y ≥ 0 → –2 ≤ x ≤ –1 
y = 0 → x = –2 ou x = –1 
y ≤ 0 → x ≤ –2 ou x ≥ –1
EXERCÍCIO AQUI

Equação da Circunferência

CIRCUNFERÊNCIA

É o conjunto dos pontos do plano cuja distância ao ponto C é igual a r.

O ponto C é chamado centro da circunferência e o segmento de reta que liga um ponto qualquer dela ao centro é chamado raio da circunferência. Assim, r é a medida desse segmento.

EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA

1. Equação reduzida

Seja uma circunferência com centro no ponto Q (a, b) e raio r; temos o ponto P (x, y) pertencente à circunferência se, e somente se:d (Q, P) = r ou   

Então, uma circunferência com centro no ponto Q (a, b) e raio r tem equação (x – a)² + (y – b)² = r² (equação reduzida da circunferência).

Observação – Se o centro da circunferência estiver na origem, então a = b = 0, e sua equação será:

x² + y² = r²

2. Equação geral ou normal

Desenvolvendo a equação reduzida (x – a)² + (y – b)² = r², vamos obter:

x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² - r² = 0

Portanto, x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² - r² = 0 é a equação geral da circunferência.

Observação – A equação normal da circunferência também pode ser apresentada na forma x² + y₂ + Ax – By + C = 0, onde

A = -2a, B = -2b e C = a² + b² - r²

Aplicação

Determine as equações da circunferência de centro (1, 5) e raio 2.

Solução:

Sendo a = 1, b = 5 e r = 2, então, temos:

Sendo a = 2, b = 4 e r = 3, então, temos:

(x – a)² + (y – b)² = r2 (x – 1)² + (y – 5)² = 22

(x – 1)² + (y – 5)² = 4 (equação reduzida)

(x – 1)² + (y – 5)² = 4

x² – 2x + 1 + y² – 10y + 25 – 4 = 0

x² + y² – 2x – 10y + 22 = 0 (equação geral) 

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA 
Quando temos um ponto P (x,y) e uma circunferência C de centro (a,b) e raio r, as possíveis posições relativas de P e C são:

 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA 

 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE  CIRCUNFERÊNCIAS