Sólidos Geométricos

Quando tudo nos parece dar errado...
Acontecem coisas boas ...
Que não teriam acontecido...
Se tudo tivesse dado certo...

Sólidos Geométricos

Introdução

Um sólido geométrico é uma região do espaço limitada por uma superfície fechada. Há dois tipos de sólidos geométricos.

Poliedros

Poliedro é um sólido geométrico cuja superfície é composta por um número finito de faces, em que cada uma das faces é um polígono. 

Os seus elementos mais importantes são as faces, as arestas e os vértices.

Aos objectos que nos rodeiam e que apresentam as mais diversas formas, ocupando no espaço um certo lugar e tendo uma forma imutável desde que não seja exercida nenhuma acção particular sobre eles, chamamos sólidos.  

São exemplos de sólidos geométricos: o Cubo, o Paralelepípedo, o Prisma, a Pirâmide, o Cilindro, o Cone, a Esfera....

Exemplos deles incluem: 

  

1. Tetraedro 
2. Cubo
3. Octaedro
4. Dodecaedro
5. Icosaedro

Não poliedros

São todos os demais sólidos geométricos que não se encaixam na categoria de poliedro, ou seja, ao menos uma de suas faces não é um polígono.

Exemplos deles incluem:

1. Esfera 
2. Cone 
3. Elipsóide 
4. Cilindro
5. Toro
 

 

Cubo

Este sólido geométrico chama-se  cubo. 

É um prisma em que todas as faces têm a forma de quadrados.

Este sólido geométrico tem: 8 vértices, 12 arestas e 6 faces.

 

 

 

 

 

 

 

Paralelepípedo

Chamamos paralelepípedo a este prisma. 

Todas as suas faces têm a forma de rectângulos.

Tem 8 vértices, 12 arestas e 6 faces.

Pirâmide Triangular

Este sólido geométrico denomina-se pirâmide triangular porque a sua base é um triângulo. 

Tem 4 vértices, 6 arestas, 4 faces e 1 base.

Pirâmide Quadrangular 

Chamamos pirâmide quadrangular a este sólido pois tem um quadrado na sua base.

Tem 5 vértices, 8 arestas, 5 faces e 1 base.

Cone

O cone está limitado por uma superfície curva.

Tem uma base na forma de circunferência e tem 1 vértice.

Cilindro

Este sólido geométrico chama-se cilindro.

Encontra-se limitado por uma superfície curva e tem duas bases com a forma de circunferências.

Prisma Triangular

Este sólido geométrico é chamado prisma triangular porque as suas bases são triângulos.

Tem 6 vértices, 9 arestas, 5 faces e duas bases.

Esfera

A esfera é um sólido geométrico limitado por uma superfície curva.

A sua forma é esférica; não tem bases, não tem vértices e não tem arestas.

Prisma Quadrangular

O prisma quadrangular tem nas suas bases quadrados.

Tem 8 vértices, 12 aresta, 6 faces e duas bases.

Prisma Pentagonal

Este sólido chama-se prisma pentagonal, porque as suas bases são pentágonos.

Tem 10 vértices, 15 arestas, 7 faces e duas bases.

Pirâmide Pentagonal

A base da pirâmide pentagonal é um pentágono.

Tem 6 vértices, 10 arestas, 6 faces e 1 base.

Se observarmos cada figura citada acima, iremos perceber que cada uma tem a sua forma representada em algum objeto na nossa realidade, como:

Prisma: caixa de sapato, caixa de fósforos.
Cone: casquinha de sorvete.
Cilindro: cano PVC, canudo.
Esfera: bola de isopor, bola de futebol.

Essas figuras ocupam um lugar no espaço, então a geometria espacial é responsável pelo cálculo do volume (medida do espaço ocupada por um sólido) dessas figuras e o estudo das estruturas das figuras espaciais.

INEQUAÇÃO DO 2º GRAU

Inequação do 2º grau na variável x é uma expressão matemática de desigualdade escrita nas seguintes formas redutíveis: 

ax² + bx + c > 0 
ax² + bx + c <0 class="Apple-converted-space" font=""> 

ax² + bx + c ≥ 0 
ax² + bx + c ≤ 0 
onde a, b e c pertencem ao conjunto dos números reais e a ≠ 0. 
A obtenção do conjunto solução das inequações deve ser determinado de acordo com o sinal de cada função. A seguir determinaremos o estudo do sinal de algumas funções. 

Exemplo 1 
x² – 6x + 8 < 0 
∆ = 4 (duas raízes distintas) 

x’ = 2 
x” = 4 

Estudando o sinal da função y = x² – 6x + 8, que possui a > 0. Observe o gráfico:

y < 0 → 2 < x < 4 
y = 0 → x = 2 ou x = 4 
y>0 → x < 2 ou x > 4 

De acordo com o sinal de desigualdade da inequação, o conjunto solução é: S = {x Є R / 2 < x < 4}. 


Exemplo 2 
x² – 6x + 9 >0 
∆ = 0 (uma única raiz real) 

x’ = x” = 3 

Estudando o sinal da função y = x² – 6x + 9, com a > 0. Veja o gráfico:

y > 0 → x ≠ 3 
y < 0 → não existem valores 
y = 0 → x = 3 

Portanto, o conjunto solução da inequação é: S = R – {3} 


Exemplo 3 
–3x² – 2x – 1 ≥ 0 
∆ = – 8 (não possui raízes reais) 





Nesse caso, a parábola não intercepta o eixo x, portanto não possui raízes reais. Dessa forma concluímos que o conjunto solução é: S = Ø. 


Exemplo 4 
–x² –3x – 2 ≤ 0 
∆ = 1 (duas raízes reais e distintas) 

x’ = –1 ou x” = –2 

Estudando o sinal da função y = –x² – 3x – 2, com a < 0. Observe o gráfico:

y ≥ 0 → –2 ≤ x ≤ –1 
y = 0 → x = –2 ou x = –1 
y ≤ 0 → x ≤ –2 ou x ≥ –1
EXERCÍCIO AQUI

Equação da Circunferência

CIRCUNFERÊNCIA

É o conjunto dos pontos do plano cuja distância ao ponto C é igual a r.

O ponto C é chamado centro da circunferência e o segmento de reta que liga um ponto qualquer dela ao centro é chamado raio da circunferência. Assim, r é a medida desse segmento.

EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA

1. Equação reduzida

Seja uma circunferência com centro no ponto Q (a, b) e raio r; temos o ponto P (x, y) pertencente à circunferência se, e somente se:d (Q, P) = r ou   

Então, uma circunferência com centro no ponto Q (a, b) e raio r tem equação (x – a)² + (y – b)² = r² (equação reduzida da circunferência).

Observação – Se o centro da circunferência estiver na origem, então a = b = 0, e sua equação será:

x² + y² = r²

2. Equação geral ou normal

Desenvolvendo a equação reduzida (x – a)² + (y – b)² = r², vamos obter:

x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² - r² = 0

Portanto, x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² - r² = 0 é a equação geral da circunferência.

Observação – A equação normal da circunferência também pode ser apresentada na forma x² + y₂ + Ax – By + C = 0, onde

A = -2a, B = -2b e C = a² + b² - r²

Aplicação

Determine as equações da circunferência de centro (1, 5) e raio 2.

Solução:

Sendo a = 1, b = 5 e r = 2, então, temos:

Sendo a = 2, b = 4 e r = 3, então, temos:

(x – a)² + (y – b)² = r2 (x – 1)² + (y – 5)² = 22

(x – 1)² + (y – 5)² = 4 (equação reduzida)

(x – 1)² + (y – 5)² = 4

x² – 2x + 1 + y² – 10y + 25 – 4 = 0

x² + y² – 2x – 10y + 22 = 0 (equação geral) 

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA 
Quando temos um ponto P (x,y) e uma circunferência C de centro (a,b) e raio r, as possíveis posições relativas de P e C são:

 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA 

 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE  CIRCUNFERÊNCIAS

Simulados ano

Simulados 1 clique aqui






Simulado 2Clique AQUI 

Função e inequação do 1º grau

Assistem o vídeo para entender melhor

Assistem o vídeo para a função do 1º grau ou função afim 

Vamos aos exercícios